A mesterséges intelligencia matematikai képességei bámulatos sebességgel fejlődnek, ami újraírja a matematikus fogalmát is. Erdős Pál legfontosabb problémafelvetései azonban még állják a sarat. Pach Jánossal, a HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet kutatóprofesszorával, az MTA levelező tagjával beszélgetett a tudás.hu.
Tavaly márciusban Daniel Litt, a Torontói Egyetem matematikusa fogadást kötött. A mesterséges intelligencia elképesztő fejlődése ellenére saját szakterületét olyannyira biztonságban érezte, hogy egy kollégájával arra fogadott, 2030-ig csak 25 százalékos esély van rá, hogy a mesterséges intelligencia a legjobb emberi matematikusok szintjén matematikai cikket írjon. A New Scientist cikke szerint egy évvel később már belátta, hogy tévedett és arra számít, hogy elveszíti a fogadást.
Az átlagemberek akár furcsának is vélhetik, hogy a matematikusokat ennyire meglepte az MI problémamegoldó és bizonyításkészítő képességeinek gyors fejlődése. Pár évvel ezelőtt a mesterséges intelligencia még középiskolai matematikai feladatok megoldásához is gyakorlatilag használhatatlan volt, ma pedig már néha olyan problémákat is meg tud oldani, amelyek a matematikusok kutatásaihoz kellenek.
Erdős problémái összehasonlító alapot jelentenek
A gyors változás hatására a matematikusok arra figyelmeztetnek, hogy szakmájuk a terület történetében eddig nem látott gyors fejlődésen megy keresztül és szembesülniük kell azzal a ténnyel, hogy az MI hamarosan jobban fog tudni tételeket bizonyítani, mint ők.
De nézzük a tavaly történteket az előbbi aggodalmak fényében! A New Scientist szerint olyan cégek, mint az OpenAI és a Google DeepMind már aranyérmeket nyertek volna a Nemzetközi Matematikai Olimpián, a középiskolások elit versenyén. Ezzel egyidőben pedig a matematikusok MI-s eszközöket kezdtek használni az Erdős Pál által felvetett, régóta megoldatlan problémák megoldására.
Az idén szeptemberben 30 éve eltávozott világhírű magyar matematikus, Erdős Pál vonatkozásában különösen érdekes, hogy részben épp a chatGPT segítségével egy Thomas Bloom nevű brit matematikus összeszedte az Erdős által a matematika legszélesebb köréből felvetett problémákat és mára ebből egy elképesztően pontos, több mint ezer problémafelvetést tartalmazó gyűjtemény keletkezett – mondja a tudás.hu számára Pach János, a HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet kutatóprofesszora, az MTA levelező tagja.
– Ez mára egyfajta összehasonlítási alap lett a matematika világában és kiválóan használható, hogy mit tud az MI mondani ezekről a matematikai problémafelvetésekről és hányat tud ezekből – részben, vagy egészben megoldani. Nemrég láttam, hogy az elmúlt hónapban 150 ezren keresték fel ezt a honlapot.
Egyelőre azért az igazán fontos Erdős problémákkal kapcsolatban még nem volt MI-s áttörés, de biztos vagyok benne, hogy ez is eljön – teszi hozzá a magyar kutató, aki szerint egyre több kollégája használja kutatásaihoz a mesterséges intelligencia eszköztárát. Néha csak a fontosabb hivatkozások összegyűjtéséhez, de néha technikai jellegű segédtételek bizonyításához is.
Forrás: Pexels.com
Két különálló fejlesztés keretében, az MI segítségével már sikerült összetett matematikai kutatási problémákat is megoldani, és automatikusan ellenőrizni bonyolult emberi bizonyításokat, melyek megértése képzett matematikusok számára is kihívást jelentett.
Februárban Nikhil Srivastava, a Kaliforniai Egyetem Berkeley-i campusának kutatója és kollégái elindították a First Proof projektet, amelynek célja az MI reálisabb mércével történő matematikai képességeinek tesztelése volt. A projekt első fordulója 10 feladatból állt, amelyek nagyon különböző matematikai területekről származtak.
Hány olyan tétel lehet, amit az MI jobban old meg, mint az ember?
Miután a problémákat nyilvánosságra hozták, özönleni kezdtek a megoldások. A technológiai vállalatok, köztük az OpenAI és a Google DeepMind, megpróbálták megoldani a First Proof problémáit saját MI-modelljeikkel. Az OpenAI állítása szerint „szakértői visszajelzések” alapján a problémák felét helyesen oldotta meg, míg a Google DeepMind 10-ből 6 feladatot oldott meg.
A Google MI eszköze, az Aletheia, a Gemini MI chatbot számításigényes változatát használja, amelyhez egy ellenőrző algoritmus társul, hogy megkeresse a lehetséges megoldások hibáit. Ezután önállóan, interaktív módon javításokat végez, amíg meg nem találja a választ. A Google nem hozta nyilvánosságra, hogy Aletheia-nak hány menetre volt szüksége a problémák megoldásához, ami megnehezíti annak értékelését, hogy mennyire volt jó, de a matematikusokat így is lenyűgözte az eredmény.
A projekt vezetői azonban nem minden probléma megoldását fogadták el egyhangúlag. Például a 8. probléma esetében, amely a geometria egy speciális területével foglalkozott, a Google által megkérdezett hét szakértő közül csak öt értett egyet abban, hogy a javasolt megoldás helyes volt.
A First Proof nevű projekttel kapcsolatban Pach János úgy véli, a kutató matematikusokat persze az érdekli, hogy hány olyan probléma van, melyet az MI segítsége nélkül nem, vagy csak nagyon nehezen tudnának megoldani. Az ilyenek esetében már nem kezdenék bonyolult bizonyításokon törni a fejüket, hanem gyorsan segítségül hívnák a komputert. Ahogy a profi sakkozók sem versengenek már a sakkprogramokkal.
Az MI által generált bizonyítások egyik nehézsége a bizonyítások ellenőrzése. Könnyen előfordulhat olyan helyzet, hogy az MI gyorsabban generál bizonyításokat, mint amennyit az emberek ellenőrizni tudnak. Ha pedig egy tételt az MI bizonyít, de nincs senki, aki ellenőrizze, akkor az bizonyítottnak tekinthető? Naná, hogy a felmerülő kérdésben is az MI segíthet.
A technológia az emberi bizonyítások természetes nyelvre történő fordításában is gyorsan fejlődik, ahogy például a First Proof-ban felvetett problémák egy formalizálásnak nevezett folyamat által kerülnek számítógép által ellenőrizhető formátumba. A formalizálásnál egy gondolatot, problémát vagy állítást írnak át szigorú, pontos matematikai formába – általában szimbólumokkal, definíciókkal és logikai szabályokkal.
A Math, Inc. mesterséges intelligencia vállalat nemrég azzal okozott meglepetést a matematikusoknak, hogy bejelentette: Gauss nevű mesterséges intelligencia eszközének felhasználásával sikerül formalizálnia Maryna Viazovska gombpakolásokra vonatkozó híres tételének bizonyítását, melyért az ukrán kutatónő 2022-ben megkapta a matematikai egyik Nobel-díjának tekintett Fields-érmet. A bizonyítás arra vonatkozott, hogy hány gömb fér el egy térben.
A Viazovska munkájának formalizálására irányuló erőfeszítések 2024 végén egy kis matematikuscsoporttal kezdődtek, akik a Math. Inc-től függetlenül, Sidharth Hariharan vezetésével a Carnegie Mellon Egyetemen dolgoztak, és azt remélték, hogy a problémát manuálisan le tudják fordítani számítógépes kódra. Először Viazovska 8-dimenziós gömbpakolási tételének bizonyítását formalizálták. Miközben folyamatosan haladtak előre, a Math, Inc., amely később segítséget is nyújtott a kutatóknak, bejelentette, hogy végzett a teljes bizonyítással, nem sokkal később pedig sikerrel járt a 24-dimenzios bizonyítás formalizálásában és részletezésében is.
Hariharan és kollégái eredetileg vázlatosan készítették el a munka tervét, valamint fontos matematikai definíciókat is kidolgoztak. Enélkül a mesterséges intelligencia nem tudta volna befejezni a bizonyításokat.
Az új típusú matematikus
A teljes bizonyítás körülbelül 200 000 kódsorból állt, ami a létező formalizált matematika körülbelül 10 százalékát teszi ki. Bár ez a kód valószínűleg körülbelül tízszer hosszabb, mint a feladatra adott humán bizonyítás, de óriási eredménynek számít, hiszen egy igen komoly matematikai tétel bizonyításáról van szó.
– Egyelőre szerintem az a leglényegesebb – mondja Pach János, – hogy ezekkel a programokkal sikerül precízen formalizálni rendkívül összetett matematikai bizonyításokat.
– Az ausztrál-amerikai Terry Tao, korunk egyik legtehetségesebb matematikusa készített egy nagy kollaboratív projektet, amiben a profi matematikusokon túl egyetemisták, sőt középiskolás diákok is részt vesznek és tízezrével generálnak matematikai feladatokat, majd szétosztják a résztvevők között, hogy a MI segítségével megoldják azokat. Amikor sikerül, mások elolvassák, ellenőrzik a megoldást, de ezzel párhuzamosan ezeket a megoldásokat formalizálják. Ennek volt része egyébként a Math. Inc. által indított projekt.
Hasonló erőfeszítések számos más területen is lehetségesek már, és ez teljesen megváltoztatja a matematikai kutatást. Olyan eszközöket hozunk létre, melyek segítségével automatikusan formalizálhatjuk, átfogalmazhatjuk és ellenőrizhetjük a matematikai cikkeket, és kimutathatjuk, ha azokba hiba csúszott – teszi hozzá. Egy olyan jövőben, melyben a matematikai feladatok egyre nagyobb részét gépekkel oldjuk meg, a nyilvánvaló előnyök mellett szegényebbek leszünk egy fontos tanulási lehetőséggel. Az új ötletek kidolgozása és megfogalmazása, valamint új problémák megoldása ugyanis a diákok képzésének, a kutatók felkészítésének egyik legfontosabb módja – teszi hozzá Pach.
A matematikusok mindamellett továbbra is reménykednek abban, hogy lesz helyük az egyre inkább géppel vezérelt jövőben.
Pach János szerint eddig még korántsem küszöbölték ki a matematikai kutatásban az emberi tényezőt, és úgy reméli, hogy erre talán sosem kerül sor. De a matematikusok munkája a jövőben minden bizonnyal gyökeresen megváltozik. Hogy pontosan miként, arra vonatkozóan persze csak találgat, de ahogy jelenleg állnak a dolgok – és fél év múlva már valószínűleg egészen másként -, úgy képzeli, hogy egy jó matematikusnak a problémák megoldásában együtt kell dolgoznia számos kollégájával és egy sor MI szoftverrendszerrel.
Ha a számítógép megakad a bizonyításban és ezt maga is felismeri, vagy hülyeségeket mond, akkor a matematikusnak kell majd kisegítenie. Ki kell jelölnie azokat a lehetséges irányokat, melyekben talán lehetséges a továbblépés, melyek megoldása megkerülhetetlen az eredeti cél eléréséhez. Ehhez pedig nagy valószínűséggel szükség lesz egy átfogó matematikai tudásra, szemléletre, találékonyságra, kreativitásra – véli optimistán Pach János.
Hajdan a kézi számítások képezték a matematikusok munkájának nagy részét, jelentős részét, ma ezeket jórészt automatizáltuk. Az optimistábbak, mint Pach János, úgy vélik, hogy itt is hasonló fog történni: ugyan radikálisan megváltozik a munkájuk, de 10 vagy 20 év múlva is még mindig matematikának tekintik majd azt, amit csinálnak, csak egy új stílusban.
Mi lesz az oktatással?
Ami másik fontos kérdés, mennyiben befolyásolhatja ez az egész a matematikusok képzését. Egy magyar példa jól jellemzi a helyzetet. A hazai matematikushallgatók hagyományosan talán legfontosabb elismerése, ha eredményt érnek el a Schweitzer Miklós emlékversenyen. Itt a versenyzők 10 feladatot kapnak 10 napra. Ezeket hazaviszik és dolgoznak rajtuk. A feladatok jó része publikálható matematikai eredmény, és ritkán fordul elő, hogy egy versenyző mind a 10 feladatot megoldja. A tavalyi verseny 10 feladata közül Pach János szerint 9-et MI programok segítségével rövid idő alatt sikerült megoldani. Ez azt jelenti, hogy a versenyt ebben a formában már nem lehet megrendezni.
A Schweitzer verseny a matematikus diákok krémjének képzésében játszik csak szerepet. Ennél mélyrehatóbb változások várhatóak a matematikai alapképzés területén. Pach több fiatalabb kollégáról tett említést, akik előadásukhoz MI-val készítettek jegyzeteket és bemutató anyagokat. De az MI zárthelyi kérdéseket is szolgáltat és a kiértékelésben is segít.
Persze a diákok is használják az MI-t. Az akadémikus szerint tavaly a Műegyetemen több kurzuson is beszámoltak olyan esetről, amikor utolsó utáni pótvizsgára készülő diákok mintegy fele hirtelen minden feladatot megoldott az írásbeli vizsgán, ráadásul többen, akik egymástól messzebb ültek a teremben, ugyanolyan eredménnyel és ugyanolyan apró hibákkal. Persze hosszú távon az oktatás minőségét tekintve nem sok jó van abban, ha MI által választott feladatokat a diákok MI segítségével oldják meg és aztán ezeket a tanár MI-vel értékelje ki. Lehet, hogy aztán ennek kiküszöbölésére is a mesterséges intelligenciát kérik segítségül?
