Magyarországon az általános vélekedés szerint a matematika nem annyira népszerű. Simon Péter, az ELTE TTK Matematikai Intézetének igazgatója és a Bolyai János Matematikai Társulat főtitkára szerint azonban ez nem igaz. Erről, valamint a matematika hétköznapi életünkben betöltött szerepéről is kérdeztük.
Mit gondol, miért félelmetes sokak szemében a számok tudománya?
Ez csak a „mindenki azt gondolja, hogy a többiek azt gondolják, hogy” eredménye. Erre is létezik matematika, hogy mit gondolunk, mit gondolnak mások, és ez nagyon torz lehet. Kicsit talán divatos is azt mondani, hogy én gyenge voltam matekból, nem szerettem, vagy megbuktam a másodfokú egyenlet megoldásán. Innen nézve úgy látszik, hogy sokan akarnak foglalkozni matematikával. Másik irányból szemlélve, a munkaerőpiacon szintén hatalmas az igény, elég csak a fővárosban jelen lévő komolyabb vállalatokat, az Ericssont, a Huaweit, vagy a Morgan Stanley-t említeni. Természetesen mérnökre vagy informatikusra, de kifejezetten matematikai végzettségű emberekre is „vadásznak”. Messze nem tudunk annyi szakembert kibocsátani a munkaerőpiacra, mint amekkora az igény. Nálunk évi 150 lenne a maximális kapacitás, olyan 140 hallgatót veszünk fel, de valószínűleg másfélszer ennyi végzett hallgatót is alkalmaznának, akár a pénzügyi, akár az információs technológiai (továbbiakban IT) szektort nézzük. Több pénzügyi világcég is megtalálható Budapesten, mint például a BlackRock, vagy a már említett Morgan Stanley, amelyek jelentős kutatórészleggel is rendelkeznek. Középiskolákban el szoktam mondani, hogy gyakorlatilag ilyen, kutatómatematikusi pályára is készítünk fel hallgatókat.
Mennyire jellemző önöknél a Budapest-központúság, mármint jellemzően fővárosi közoktatási intézményekből jelentkeznek a hallgatóik, avagy vidékről is nagy az érdeklődés?
Az egyetem felől nézve erre nehéz választ adni, mert mi már egy kiválasztott spektrumát látjuk a népességnek. Ami statisztikai adatunk rendelkezésre áll, az a jelentkezők száma. Ebből az elmúlt évekre vetítve azt látjuk, hogy matematika szakra egyre többen felvételiznek. Fokozatosan növekszik a létszám, tehát sokan felismerik, hogy ez a szakma jó, és szeretik is. Összességében a megszületett gyerekek létszáma országosan régóta csökken, tehát az emelkedés lényegében azt jelenti, hogy egyre többen mérik fel, érdemes matematikát tanulni. Jelentős mennyiségű diák érkezik a vidéki iskolákból is.
Egyre több matematikai képzettségű szakembert vár a piac
Ismernek ezekben a középiskolákban olyan felkészítő tanárt, aki már évekre visszamenőleg segíti a diákokat?
Előfordul néhány ilyen, de sokkal differenciáltabb a kép. Arról a 140 diákról, aki hozzánk érkezik, nem mondanám, hogy teszem azt, öt fontos hely valamelyikéről érkezett volna, de a jó iskolákkal mindenképp igyekszünk építeni a kapcsolatokat. Maga a Természettudományi Kar is szokta figyelni, hogy melyik iskolából jönnek többen, mi is el szoktuk hívni a nagyobb érdeklődést mutató középiskolák igazgatóit.
Az érkezők felkészültségében látszik valamiféle kontraszt?
Nem szoktunk ilyen statisztikát vezetni, de minden évben megnézzük a bejövők emelt szintű matematikaérettségi-eredményeit, majd azokat összevetjük a nálunk eltöltött egy vagy két év vizsgaeredményeivel. Ez alapján megállapítottuk, hogy akinek a 70 százalékot eléri az emelt szintű érettségi eredménye, az viszonylag jól szokott itt teljesíteni.
Azzal a céllal érkeznek, hogy például a már említett IT-szektorban dolgozzanak később, vagy más ágazatok iránt is érdeklődnek?
Az még valószínűleg nem tudatosul annyira a jelentkezőkben, hogy aki matematikát tanul, az is nagyon sok szálon fog IT-munkakörökhöz kötődni. Ezt mi egyébként segítjük, tehát amikor bemutatót tartok a középiskolákban, akkor rendszerint elmondom, hogy a hallgatóink nagyjából 50 százaléka – de talán még több is – programozással is foglalkozik ugyan, de ez nem azt jelenti, hogy feltétlenül az IT-szektorban dolgozik. Azon is dolgozunk, hogy a középiskolások, és főleg a szüleik, akik a pályaválasztásban terelgetik őket, jobban lássák, hogyha valaki egy ilyen helyen dolgozik, az lehet, hogy matematika végzettségű, és nem feltétlenül informatikus. Persze azt már nem tudom, az a cégek ügye, hogy mekkora arányban foglalkoztatnak informatikust vagy matematikust, de valószínűleg jóval több informatikus kell, mert rengeteg gyakorlati megvalósítást kell elvégezni. Habár a kutatók száma jellemzően kevesebb, így is több és több kellene, ez pedig már akkor jellemezte az ágazatot, amikor a mesterséges intelligencia (továbbiakban MI) még nem is szaladt meg ennyire. Ma pedig ennek kapcsán már a legutolsó kisvárosi fűnyírógépgyár is igényt tart MI-re. Nem tudom, mire, de kell neki, és akkor oda már egy matematikus is elkél.
Ezzel szemben miért tekinthetnek erre a tudományra mumusként, amikor már szinte minden téren átszövi az életünket?
Ez egy vélemény, ami nem a valós helyzetet tükrözi. Dolgoztam Angliában több évet, és az ottani iskolákban a gyerekek matektudása nem látszott jobbnak, az egyetemi hallgatóké pláne nem. Ennek ellenére az angolokon nem látszott ez a fajta „nem szeretjük a matekot” gondolkodás. Nehezen boldogulnak vele, de mégsem azt élik meg, hogy ők ezt nem tudják. Általában a well done kifejezést használják, ami ennyit tesz: „jól van kisfiam, szépen megcsináltad”. Akármit is csinált, akármilyen nehezen ment az a matekfeladat, megdicsérik. Nem szembesül annyira drasztikusan azzal, hogy „nézd meg, ott ül a nem tudom ki, akinek tökéletes lett, a tiéd meg csak egy pont a tízből”. Lehet, hogy ilyeneken múlik, de igazából az egy belső érzet, hogy mennyire vagyok rossz matematikából, és nem egy objektív mérce. Hiszen nem mondanám, hogy az angol gyerekek jobbak lettek volna, de mégis azt érezték, hogy ők a matekot nagyjából tudják. Itt viszont ez a tárgyat talán egy kicsit negatívabban kezeljük. Persze, egyetemi szinten elég magas előképzettség szükséges, rengeteg tanulás, gyakorlás, de nem érdemes tagadni, hogy a képesség is meghatározó. Valószínűleg lehet ezen javítani, például az ázsiai országok nagyon sokat fektetnek abba, hogy a matematikát hogyan tanítsák. Ez már inkább tantárgypedagógiai kérdés. Az ELTE-n is működik egy oktatásmódszertani központ, ahol főként arra képzik a tanárokat, hogy miként kell tanítani, a diák hogyan érti meg a matematikát, melyik korban mire, hogyan lehet rávezetni stb. Ez egy komoly, sok évtizedes tudomány.
Mennyiben lehet benne ebben a neveltetés? Gyakran hallani otthon, hogy „én sem tudtam a matematikát, mégis lettem valaki”. Másutt a szülő egy bizonyos szintig még tud segíteni a gyereknek, aztán a gimnáziumi anyagban már ő is elveszti a fonalat.
Ez egy nagyon összetett probléma, és valahol a felső tagozatnál kezdődik el. A szorzótáblában általában tudnak segíteni, vagy az egyszerűbb szöveges feladatoknál, ám idővel azt érzi a szülő, hogy bizonytalanná válik. Egy gimnáziumi matekfeladat jellemzően nagy munkát igényel a szülőtől, hogy újra felfrissítse az emlékeit, megértse, majd elmagyarázza. Emellett nem is minden szülő tanulta, lehet másfajta iskolába járt, mint a gyereke, így nem is várható, hogy segíteni tudjon. Ellenben sokat tehetnek az önbizalom kialakításáért, mert nem mindegy, hogy valakinek azt mondják, hogy „fiam, ezt én se tudtam soha, de különben is, ez egy hülyeség, és az életben nem lesz rá szükséged”, vagy azt, hogy „ne add fel, hanem próbáld csak meg”. Mi a Bolyai Társulattal próbálunk olyan programot kialakítani, mely a szülőknek ebben is igyekszik segíteni.
A régi szigorú iskolai követelmények is okozhatták a matek rossz megítélését
Ilyenkor mondhatja azt a szülő, hogy jó, ez már meghaladja a tudásomat, és magántanárhoz íratom be a gyereket?
Igen, mondhatja, hiszen ugyanazt a szintet az emberek nagy hányadától nem várhatjuk el. Viszont amennyi matematikát csak lehet, el kellene juttatni mindenkihez. Hiszen a mai pedagógiai irányzat is az, hogy alapvetően az emberek egy bizonyos szintig mind elvihetők. Most ugyan azt hisszük, az MI majd kiváltja ezt, és nem kell tanulni, de valószínűleg nem fogja. Az emberi intelligencia kelleni fog, és akkor, ha valaki ezeket a képességeket nem fejleszti ki magában, háttérbe szorulhat. Azt sem tartom egy túl élhető módszernek, hogy az állam tartson fenn nagyon magas szintű oktatást, és mindenkinek ugyanazt nyújtsa, mert ebből szintén az lenne, hogy akinek nem sikerül tartani a lépést, az rendkívül negatív attitűddel fog majd például a matematikához állni. Inkább legyenek kiválasztott iskolák, ahol összegyűlnek azok, akiknek a képességeik hasonlóak, és akik ezt szeretnék tanulni. Azt hiszem, ebben is gyökerezik a matek rossz megítélése, hogy régen minden iskola hasonló – elég szigorúnak mondható – követelményeket támasztott.
Oktatásmódszertani kutatások alapján 100 évvel ezelőtt a társadalom mindössze 4 százaléka érettségizett. Vagyis az emberek töredéke engedhette meg magának, hogy egyáltalán olyan iskolába járjon, amely után ezt teljesíteni tudta. Ez akkoriban nem volt olcsó mulatság. A most elérhető oktatási rendszerben az érettségizők aránya 50-60 százalék. Képesség szempontjából nagyjából az evolúció fejleszti az agyat, vagyis ennyi idő alatt – a mai biológiatudásunk szerint – jó eséllyel semmi nem változott. A lehetőségek a tanulásra viszont jócskán bővültek.
Egyáltalán lehet-e ezt a negatív attitűdöt átformálni?
A legfontosabb szerintem az embernek a sikerélmény, ami motiválja. Tehát olyan kihívást kell neki adni, amit meg tud ugrani, és akkor jó érzése lesz. Ez alapvető pszichológia és bármilyen területre igaz. Aki sportol, annak sem valami reménytelen feladatot adnak, mert akkor soha többet nem megy edzésre. Ez szerintem majdnem, hogy a legmeghatározóbb. A második talán az, hogyha ennek valaki hasznát látja, akkor áldoz be érte energiát. Ezt próbálom a matematikáról is jobban elterjeszteni, hogy hasznos, akár egy már említett céges felállásban is, ahol olyan munkát végez, amivel persze egyrészt pénzt keres, másrészt valami olyan dolgot (alkotást) hoz létre, ami örömet okoz neki. A matematikánál egy külön nehézség még, amit érdemes talán megemlíteni, hogy nagyon sokat kell szerteágazóan fejleszteni és nem utolsó sorban visszamenőleg is frissen tartani az ismereteinket, mivel eltérő szintjei kártyavárként épülnek egymásra. Ezt az ember csak akkor vállalja be, ha nagyon érdekli, viszonylag jók a képességei, és nagyon motivált, hogy „majd ezzel én egyszer fogok kezdeni valamit”.
Mit javasolna egy olyan diáknak, aki szeretne matematikával foglalkozni, és meg is felel a követelményeknek, de vannak hiányosságai az alapokban?
Például itt az ELTE-n mentorórákat tartunk kisebb csoportban, és ott arról kérdezhetnek, ami problémát okoz nekik. Látszólag nem óriási az igény erre. Vagyis lehet, hogy nagyobb volna, de a hallgatók nem merik felvállalni, hogy kérdezzenek. Sokkal többen is jöhetnének, mert lenne rá tér. Az újonnan érkezőket próbáljuk nagyjából az első év végére körülbelül azonos szintre emelni, hogy a matematika alapjait készség szinten tudják használni. Ne azon múljon a biztos tudásbázis, hogy egy alapvető trigonometriai összefüggést, vagy a deriválás–integrálás dolgait ne tudja valaki álmából is felkeltve, mert akkor az erre épülő részeknél ez hiányozni fog. De alapvetően nagyon sok jó hallgató érkezik, akinek ilyen hiányossága jellemzően már nincs.
Más országokban hogyan viszonyulnak ehhez?
Amikor tananyagot állítunk össze, most éppen egy ilyen alapszakos képzési reformon vagyunk túl, akkor megnézzük rengeteg külföldi egyetem képzését is, hogy hol, mit tanítanak, és ahhoz igyekszünk hozzáidomulni, még akkor is, hogyha itt néha egy picit más hagyományok terjedtek el. Ám ha valami előrelépést jelent, azt egymástól meg lehet tanulni. Az egyik például az, mint említettem, hogy a matematika egymásra épülő dolgokból áll, de nem tudom úgy csinálni, hogy a mesterséges intelligenciát és a pénzügyi matematikát is teljes mélységében ismerjem. Mert annyi időm nincs, hogy megtanuljam, tehát kissé a felszínesség is egy szempont, ugyanis nem lehet az, hogy az egyik területnek a szakembere vagyok, azt nagyon mélyen ismerem, és a többiből semmit nem tudok, mert akkor ingatag a tudásom. Viszont azt sem lehet, hogy mindenből csak a felszínt ismerjem, ezért próbáljuk felmérni, hogy máshol hogyan csinálják. Bizonyos értelemben a hazai matematikatanítás inkább mély típusú, ami nagyon alapos, és jól felépíti a tudást, viszont így nem olyan széles palettájú. Ezzel szemben az amerikai képzésben számos dolgot elég hamar, kis mélységben megtanítanak, és később specializálódnak valamire. A magyar egyetemi képzésben bizonyos alapvető matematikai fogalmakra úgy tekintünk, hogy mindenkinek hallania kell azokról, mások pedig ezt elengedték, és azt mondják, hogy nem baj, ha arról nem hallott, viszont egy másik területen nagyon szuper, ott mindent tud. E dilemmákkal próbálunk alkalmazkodni az amerikai, vagy más európai mintákhoz is.
Ha valakit a tanulmányai után kezd el érdekelni a matematika, laikus érdeklődőként miként tudja bővíteni az ismereteit?
Amikor az Érintő magazint immár 7 éve létrehoztuk, akkor ezt tartottuk az egyik szempontnak, hogy igen, veszünk egy embert, akit esetleg érdekelne, és mondjuk meg akarná érteni az MI mögötti matematikát. Erre igazán jó válaszunk még nincsen, az a hitünk, hogy ezt meg lehet csinálni, s próbáljuk ezt elérni. Amikor a járványról írtunk cikket (lásd később), akkor az volt a célunk, hogy aki úgy nagyjából a középiskolai matekot érti, utoljára ott tanulta, onnan elindulva megértse az írást. Ha most elolvasná ezt a cikket, akkor úgy gondolná, ez nem annyira sikerült, ehhez sokkal bővebb matektudás szükséges. Valójában nekünk az egyetemi matekot is bele kellett csempészni, és ugyan még egy integráljelet sem használtunk, mégis elég nehéz matematika a háttere. Persze olyan is akad, aki azt mondja, ez jó, ezt lehet érteni. A földrajzban például sokkal jobban segít egy gyönyörű tájkép, vagy csillagászati felvétel, azt könnyebb tálalni. Igaz, ha például megkérdezzük, hány millió éves az a képződmény, és ezt honnan tudjuk, amögött is rengeteg tudás húzódik meg, és azt már ugyanúgy nehéz lesz elmagyarázni. A matematika esetén a tankönyvek száraz levezetései helyett ezért sokkal hatékonyabbak a modern eszközök: animációk, videók. Egy bonyolultabb integrált animációval elmagyarázni sokkal jobb, mint egymás alatt lévő formulákkal, amiket végig kell olvasni, közben pedig jó esetben a fejünkben kialakul valami gondolat. Nekem az a fixa ideám, hogy az összes matematika tankönyvet ilyen modern eszközökkel kellene újraalkotni, és sokkal hatékonyabb lenne, több ember férne hozzá. A legtöbben egy hosszú levezetésnél a harmadik sornál abbahagyják. Ha azonban valami látványos vizuális eszköz elmagyarázná a matematikai jelenséget, akkor sokkal többen azt mondanák, „igen, ezt megnézem”. Nekünk ebben nagyon sok dolgunk lenne. Persze néhány tanár készít nagyon jó honlapokat, amire sokan rákattintanak és ismertséget szerez, de lehetne ennek szervezettebb formája is, hogy sok embernek át tudják adni a tudást. Sajnos egy matematikusnak ez a legnehezebb műfaj, hogy röviden, közérthetően tudja megmagyarázni a szakmát, és tényleg nem elbújni a nagy szakszavak mögé. Ez nagy kihívás, ám ebben szerintem hamarosan nagyon erőteljes fejlődés lesz.
Nincs királyi út
Főleg, hogy a matematika egyre jobban áthatja a mindennapi életünket. Mely ágait emelné ki, ahol ez különösen igaz?
Amiket tulajdonképpen mindenki használ – akár tud róla, akár nem –, azok az ajánlórendszerek. Ha például az interneten vásárolok, a szokásaim alapján legközelebb valami hasonló terméket javasol az algoritmus. Tehát az egyik lényeges matematikai téma az életünkben az algoritmusok elmélete, ami nagyjából a számítógéppel együtt fejlődött az elmúlt 50-60 évben. Az ELTE szaktekintélyei közül például Lovász László egykori igazgató fontos szakterületét képezték az algoritmusok, amik napjainkra szinte mindent behálóztak. Az algoritmus egyfajta módszer, ami a számítógépnek átadható, így egy program megírása is tulajdonképpen az. Például adott tízmillió szám össze-vissza, és sorba kell őket rendezni. Akkor mi a hatékony eljárás, hogy ezt gyorsan megtegyem? Vagy ha például egy több ezer soros táblázatban egy adott szót kell megkeresni? Persze, végig mehetek a táblázat minden egyes során, és olvashatom életem végéig, de helyette léteznek okos algoritmusok, amik ezt megoldják. Ezek rendszerint nagyon trükkös matematikai ötleteken alapulnak. E vonatkozások érdekes módon nem kerülnek be a középiskolába, erről általában nem tudnak a tananyagok. Ha azt mondjuk az órán, hogy sorba kell rakni 10 számot, azt megteszi a diák, de a tanár nem jut el odáig, hogy az ezt végző algoritmusok gyakorlati hatékonyságát is el tudja magyarázni. A másik ilyen állandóan jelen lévő fogalom az optimalizálás. Ezt már sokan mondják, hogy optimalizálunk, vagyis megkeressük az optimust (latin), azaz egy óriási halmazban a legnagyobb elemet. Ennél persze már jóval bonyolultabb az optimalizálás, például egy áruházlánc esetén, amelynek el kell szállítania a termékeit: milyen útvonalakon szállítsa, mekkora teherautóval, hány darabbal stb. Ennek is már több mint 50 éves az elmélete, de ez is sokat változott azóta. A harmadik pedig a valószínűségszámítás–statisztika, ami mindenütt szembejön. A statisztikát ugyan használjuk, de sokszor talán nem jövünk rá arra, hogy milyen becsapós részei lehetnek. Elég komoly matematika húzódik mögötte, így egy bonyolultabb jelenség statisztikáját megérteni nem mindig egyszerű. Az emberek testmagassága normális eloszlás szerint alakul, vagyis középen sokan találhatók, a szélén kevesen, ez úgy nagyjából érthető. Ám a statisztika ennél sokkal árnyaltabb kérdések megválaszolására is alkalmas, amiket rendkívül szofisztikált matematikai módszerekkel lehet csak tárgyalni. A járvány idején például a Bolyai Társulat már említett Érintő című újságjában írtunk egy cikket arról, hány COVID-beteg található Magyarországon. Ilyenkor felmerül a kérdés, vajon ezer, tízezer, vagy százezer ember válaszából tudok nagyobb pontosságú eredményre jutni? Egyébként a tízezer nem olyan rossz, abból már egymillióra, vagy tízmillióra egészen nyugodtan lehet következtetni. A matematikát is benne hagyva viszonylag le tudtuk ezt írni közérthetően, de ez még egyszerű kérdésnek számít: igen vagy nem. Ennél sokkal összetettebb kérdéseket is lehet vizsgálni.
Például az átlagkereset alakulását.
Igen, és itt jön elő az átlag és a medián közti eltérés. Ez ugyan megtalálható a középiskolai anyagban, de ezt ugye egyszer egy dolgozatnál szegény gyerek bemagolta, hogy melyik melyik. Egy tízelemű mintára kiszámította, annak mennyi az átlaga, számold ki fiam, mennyi a medián, odaírta, és megvan az 5-ös. Lassan viszont a mindennapos gondolkodás része lesz, sok egyéb matematikai kifejezés is közismertté válik. A két említett fogalmat még nem mondanám, hogy sok ember megkülönböztetné, de persze ehhez kellenek jó példák, ahol jelentősen eltér a kettő. Ezek is olyanok, amit ha az emberek készség szinten használnak, az az egész társadalom számára jó. Segíti a megértést, elkerülhetők a viták, ugyanúgy tudunk érvelni, tehát alátámasztott a gondolkodás, és nem az egyéni meggyőződéseké a főszerep. Például ha két matematikus gondolkodik egy kérdésen, és mind a ketten megválaszolják, de eltérő megoldást kapnak, akkor sem biztos, hogy a másik tévedett, lehet több megoldás is létezik. Ám ez csak azonos előismerettel látható be.
Ezzel kapcsolatban mi lehet a végső üzenet?
A világon mindenütt elismerik, hogy a Science, Technology, Engineering and Mathematics (STEM), vagyis a Tudomány, Technológia, Mérnöki tudomány és Matematika tanítása kulcsfontosságú a jóllétünk szempontjából. Minél több embert segítünk hozzá az ismeretekhez, annál jobb, ehhez pedig elengedhetetlen a jó tanár. Bár hozzáteszem, nincs királyi út. Ezt egy ókori uralkodónak válaszolta egy matematikus, amikor azt mondta, hogy érteni akarja a matematikát, de nem akar rászánni sok időt, nincs kedve fáradozni, hozzák ide és adják oda neki készen. Habár ezt a tudást ilyen olcsón nem lehet megszerezni, de biztos, hogy nem kellene ekkora fáradtsággal, mint ahogy most tesszük.