Egy halom töredezett kőszilánk láttán vajmi kevesen gondolnának arra, amire Domokos Gábor, az MTA rendes tagja, a Műegyetem egyetemi tanára, a sokak által ismert különleges test, a Gömböc szellemi atyja. Ő ugyanis némileg Platón gondolatait követve talált törvényszerűséget a természetben meglévő élettelen formák aprózódására. Ennek egyszerűsített lényege, hogy a széteső darabok geometriai átlaga a kockáéval egyezik meg. Kutatótársaival írott tanulmányát, mely Platón kockája és a töredezés természetes geometriája címet kapta, a világhírű amerikai Science magazin 2020 tíz legérdekesebb tudományos közleménye közé sorolta.
A Kis herceg örökbecsű mondása jut eszembe az említett publikáció kapcsán: csak a szívünkkel látunk igazán jól, a lényeges dolgok a szemnek láthatatlanok.
Hogy ki mivel lát igazán jól, személyes beállítottság kérdése, de kétségtelen, hogy van egy mögöttes valóság, amit meg kell keresni. A dilemmát a nagy francia matematikus, Poincaré úgy fogalmazta meg, hogy amikor a lényeget keressük, igazán a tudatalattink dolgozik. Biztos, hogy látunk valamit, de ezt értelmeznünk kell és a látvány ezután nyer valódi értelmet.
Rényi Alfréd már a hatvanas években foglalkozott a kövek aprózódásával
Ha ezt a gondolatot a Science által kiemelt publikációra értjük, az ókori gondolkodó szerint a világmindenséget alkotó négy elem, a tűz, a víz, a föld és a levegő szabályos testekből épül föl, a föld például hexaéderekből, vagyis kockákból. Ezt a hétköznapi ember fejével nehéz magyarázni…
Szerintem úgy lehetne megkísérelni, ahogy nemzetközi hírű matematikusunk, Rényi Alfréd fogalmazta meg 1967-ben a „Dialógusok a matematikáról” című korszakalkotó könyvében. Ebben szerepel egy párbeszéd a matematika alkalmazásairól II. Hierón szürakúzai király és Archimédesz között. Ez filozófiai erővel fogalmazza meg a matematika egyik legfontosabb küldetését. Itt szerepel, hogy a matematikai modellezés abban áll, hogy a valóságnak a számunkra lényeges elemeit kiemeljük és az összes többitől elvonatkoztatunk, vagyis azokat elhanyagoljuk. Amikor az akkor 29 éves Rényi vezetésével 1950-ben az MTA Alkalmazott Matematikai Kutatóintézete néven megalakult a ma az ő nevével fémjelzett matematikai kutatóintézet, amit Rényi 20 évig, a haláláig vezetett, a fiatal tudós írt egy cikket az Építőanyagok című folyóiratba a kövek aprózódásáról. Ebben el akart magyarázni egy óriási, de akkor senki által nem értett dolgot a nagyközönségnek. Kilenc évvel korábban, 1941-ben a nagy szovjet matematikus, Kolmogorov írta le az aprózódás matematikai elméletét, ami szerint a folyamat során a töredékek tömegének logaritmusa a harang alakú Gauss-görbével leírt normális eloszlást követi.
Rényi, amikor ezt akarta elmagyarázni a mérnököknek, azt mondta, hogy tekintsünk el ebben a folyamatban mindentől, ami lényegtelen és tartsuk meg azt az egyetlen lényegeset, ami segít megmagyarázni a lényeget, és tételezzük fel, hogy minden kő kocka alakú.
Ami persze nem igaz…
Igen, de akkor sem hitte senki, hogy Rényi valóban azt gondolja, hogy minden kavics kocka alakú. Viszont Platón elméletét sem kell úgy érteni, hogy a vízben kis ikozaéderek, a tűzben pedig tetraéderek lennének. Csak azt vegyük észre, hogy egy lényeges tulajdonságot Platón ezzel az elvonatkoztatással tudott kifejezni. Nevezetesen azt, hogy az anyag nagyon sok egyforma szimmetrikus részecskéből áll, ami az atomisztikus világkép eredete, s ennek azóta folyamatos hatása van az emberi gondolkodásra. Platón két Nobel-díjas fizikus, Frank Wilczek és Werner Heisenberg szerint is lényeges dolgot vett észre.
A nagy sikerű publikációban leírtak akkor tehát azt jelentenék, hogy a kőzetek töredékei, bárhogyan is nézzenek ki, végeredményben torz kockák?
Azt jelentik, hogy ha az aprózódás nagyon sokszor ismétlődik, a töredékekben statisztikusan viszontlátjuk a kockát. Ha rengeteg követ veszünk és megszámoljuk a lapok, csúcsok, élek számát, akkor az átlag nagyon pontosan kiadja a kockát. Ez nem jelenti azt, hogy a leggyakoribb köveknek 6 lapja, 8 csúcsa és 12 éle lesz. Ilyet igazából soha nem látunk.
A formák a természetben egyszerűsödnek
Végeztek ehhez számítósokat is?
Igen, ahogy hajdan Rényiék is egybevetették az elméletet fizikai mérésekkel. Kezdetben félig kézzel, félig számítógéppel dolgoztunk, de most már olyan programot készítünk, amiben a mesterséges intelligencia is jelen van.
A Műegyetemen morfodinamikai kutatócsoportot vezet. Mivel foglalkozik ez a diszciplína?
Alakfejlődéstan a magyar neve és azt kutatja, miképpen változnak a formák az élő és az élettelen természetben. Minket nagy százalékban az utóbbi érdekel.
Most óhatatlanul korábbi sikere, a 2007-ben Várkonyi Péterrel közösen megalkotott gömböc jut az eszembe, amiről úgy tudni, a formák változásának végpontját jelenti. Ezek szerint a formák egyszerűsödnek?
Ez pontosan így van.
Akkor miért nem lehet elképzelni olyan testet, aminek a gömböcnél is kevesebb az egyensúlyi helyzete?
A gömböcnek egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van. Ha nem rendelkezne egy test egy ilyen párossal, akkor maga lenne az örökmozgó, egy vízszintes lapon is örökké gurulna. A gömböcnél kevesebb egyensúlyi helyzete egy testnek sem lehet, ez fizikailag és matematikailag is kizárt. Igaz, hogy a természetben a formák egyszerűsödnek, az egyensúlyi helyzetek a kopással fogynak. A bonyolult folyamat elején is, a végén is van egy zárójel, amik nem részei a folyamatnak. Az elején áll a 26 egyensúlyi helyzetű kocka (bár a természetben legfeljebb 16-18 érhető el), a végén meg ott a természetes úton szintúgy elérhetetlen gömböc (a kopás 6 egyensúlyi helyzetnél megreked). Ez a folyamat viszont univerzális, akár a Marson is felmarkolhatunk köveket, az átlaguk kiadja, hol tart a kopási folyamat. A gömb nem része ennek a folyamatnak, elvont fogalom, mert akár azt is mondhatjuk, hogy nulla az egyensúlyi helyzete, de azt is, hogy végtelen. Fizikailag gömb nem is létezik, mert kellően felnagyítva kiderül, hogy az atomok miatt végsősoron nem gömb alakú.
A felszíni kövek formája a geológusnak a mélybeli nyersanyagokról is üzen
A legutóbbi közlemény páratlan nemzetközi sikerében eddigi karrierjének tükrét látom, melyet a szokatlan utak keresése jellemez. Építészmérnökként matematikai területen alkotott nagyszerűt, s mindig rendhagyó módon ért el sikereket. Jellemző, hogy akadémiai székfoglalójában egy képzeletbeli párbeszédet folytatott Arisztotelésszel, akinek a hangját magnóról idézte meg.
Ezen nem gondolkoztam, de tény, hogy nagyon sok munka van a cikkben, amihez kiváló emberekből álló csapatot sikerült évekig lelkesíteni. A sikert nyilván Platón neve is magyarázza, de azt is nagyon sokan kiolvashatták belőle, hogy a matematika jó dolog és érdemes racionálisan gondolkozni a természetről.
Miért érdeklik a térbeli testek?
Mindig szerettem rajzolni, érdekeltek a térbeli dolgok, amiket kézbe is lehet venni. Építészmérnökként tanultam térbeli gondolkodást és ábrázoló geometriát, s ez olyan része a matematikának, ahol a fantázia és a lelkesedés sokat tud segíteni, miközben van ennek a tudománynak olyan területe is, ahol még az alapfogalmakat is nehéz megértenem.
Ezek az eredmények talán közelebb vannak a gyakorlati alkalmazáshoz is.
Én csakis alkalmazott matematikával foglalkozom. Ez a mostani cikkünk is geofizikai közleménynek tekinthető, egy tiszta matematikai gondolat természetben meglévő tükröződését mutatja be. A kutatáshoz 4300 követ mértünk meg, több tucat kép elemzését végeztük el, s a munka alkalmazhatóságát jelezheti, hogy a világ legnagyobb térképészeti adatbázisával rendelkező amerikai Geológiai Szolgálat jelentkezett, hogy szeretnének velünk együttműködni.
Jól gondolom, hogy a geológus a kövek múltjából az ott megbúvó ásványkincsekre is következtethet?
Igen. A felszínen lévő kőzetek repedései például a mélységben lévő repedés-mintázatokkal hozhatók kapcsolatba, amiből megmondható, hogy ha termálvíz, vagy esetleg kőolaj rejtőzik ott, az hogyan mozog odalenn.
Ha a kocka a kezdet és a gömböc a vég, akkor erről a folyamatról már mindent elmondott. Vagy még van a tarsolyában új mondanivaló?
Vannak ennek az alakfejlődési folyamatnak mélyebb rétegei is, amelyek kibányászásához azonban megfelelő technológia kell. Egy kavics beszkennelését kutatócsoportunkban azonban ma már könnyedén el tudjuk végezni és a kellően programozott számítógép kiadja a megfelelő eredményt, amit korábban szabad szemmel senki sem láthatott. Ráadásul a kövek nem magányosan kopnak, hanem egymást koptatják. Ennek a folyamatnak létezik egy statisztikus matematikai elmélete, melyte megalkotva a kavicspopulációk fejlődésének teljesen új dimenzióját ismerhetnénk meg. Azon is gondolkozunk, hogyan lehet a gömböcből poliéder alakú testet (minden oldalról sokszögekkel határolt mértani testet) készíteni, amitől talán már nem vagyunk nagyon messze. A tavaly elhunyt brit matematikus, John Horton Conway kezdett azon gondolkozni, hogy létezhetnek-e egyetlen stabil állapotban megállni képes poliéderek. Ilyet igen nehéz készíteni. Hogy mégis miért, azt egyelőre nem teljesen értjük, de ez biztosan összefügg a gömböc formájával kapcsolatos mélyebb kérdésekkel. A válasz megértéséhez vezető fontos lépés lehet (de bizonyosan nem elegendő) a poliéderes gömböc megalkotása. A megfejtéshez még hosszú évek munkájára lesz szükség.
